Bewijs dat hoeken in de driehoek optellen tot 180°

... Ik heb hier een standaard driehoek. Ik heb het gelabeld met de maten van de binnenhoeken De maat van deze hoek is X Deze ene is y. Deze ene is z. En wat ik wil bewijzen is de som van de maten van de binnenboeken van de driehoek, wat x plus y plus z is gelijk aan 180 graden En de manier waarop ik dat ga doen is door onze kennis te gebruiken van evenwijdige lijnen of transversaal van evenwijdige lijnen en de bijbehorende hoeken En omdat te doen, ga ik dit uitbreiden elk van deze zijde van de driehoek welke nu lijn segmenten bevatten, maar uitbreiden tot lijnen Dus met deze zijde hier, als ik door blijf gaan en door blijf gaan en voor altijd naar dezelfde richting plotseling heb ik een oranje lijn En wat ik wil doen is een andere lijn construeren Deze is evenwijdig aan de oranje lijn dat door deze bovenkant van de driehoek hier heen gaat En ik kan dat altijd doen. Ik kan juist starten vanuit deze punt en in dezelfde richting gaan als deze lijn en ik zal er nooit kruisen Ik ga niet dichter of verder van deze lijn weg Dus ik zal nooit deze lijn kruisen Dus deze twee lijnen hier lopen parallel Deze is parallel aan deze Nu ga ik naar de andere twee zijde van mijn originele driehoek en deze lijnen uitbreiden Dus ik ga dit uitbreiden tot één lijn Dus, ik doe dat zo netjes als dat ik kan Dus ik ga ze uitbreiden tot een lijn En je ziet dat dit duidelijk transversaal is met deze twee evenwijdige lijnen Als we nu een transversaal hier pakken van twee parallelle lijnen, dan moeten we een paar bijbehorende hoeken hebben En we zien dat deze hoek gevormd is als de transversale kruist met de onderste oranje lijn Ok wat is de bijbehorende hoek als de transversaal kruist met deze blauwe lijn Wat is de hoek aan de bovenkant van deze kruising? De hoek van de bovenkant moet ook x zijn Het andere dat opduikt is dat er nog een verticale hoek is bij x een andere hoek dat gelijkwaardig moet zijn Aan de andere zijde van dit kruispunt je hebt deze hoek hier. Deze twee hoeken zijn verticaal Dus als dat maat x is, dan heeft deze ook maat x Laten we hetzelfde doen met de laatste zijde van deze driehoek dat we nog niet hebben uitgebreid tot een lijn Laten we dat doen Dus als we deze pakken Laten we dit blijven doen Nu is het een lijn geworden Dus nu wordt het een transversaal van de twee parallelle lijnen net als de magenta lijn deed En we zeggen, hey kijk deze hoek y hier deze hoek is gevormd van de intersectie van de transversaal naar de onderkant van de evenwijdige lijn Welke hoek is bijbehorend aan deze hier? Ok dit is een beetje als de linkerzijde van deze kruising Het behoort bij deze hoek hier waar de groene lijn is, de groene transversale kruist met de blauwe evenwijdige lijn Ok welke hoek is verticaal gelegen? Ok, deze hoek. Dus deze zal ook maat y bevatten Dus nu zijn we aan het laatste stuk want we zullen zien dat de maat, we hebben deze hoek hier en deze hoek Dit heeft maat hoek x Deze heeft maat hoek z Ze zijn beide aangrenzend Als we de twee buitenste stralen pakken vormen die de hoek en we denken aan deze hoek hier wat is de maat van deze hoek hier? Ok, dit zal x plus z zijn ... En deze hoek is aanvullend aan deze hoek hier dat maat y bevat Dus de maat van x de maat van deze wijde hoek welke x is plus z plus de maat van deze magenta hoek, welke y is moet gelijk zijn aan 180 graden omdat deze twee hoeken aanvullende hoeken zijn Dus x plus de maat van de wijde hoek x plus z plus de maat van de magenta hoek welke aanvullend is aan de wijde hoek moet gelijk zijn aan 180 graden omdat ze aanvullend zijn Ok, we kunnen dit juist herordenen om het op alfabetische volgorde te plaatsen Maar we hebben net ons experiment voltooid De maat van de binnenste hoeken van de driehoek, x plus z plus y We kunnen dit opschrijven als x plus y plus z als de gemiste alfabetische volgorde je ongemakkelijk doet voelen kunnen we juist schrijven dat als x plus y plus z gelijk is aan 180 graden