Inleiding in gelijkvormigheid van driehoeken

Als we driehoek ABC vergelijken met driehoek XYZ, is het vrij duidelijk dat ze niet gelijk zijn. Ze verschillen in de lengtes van de zijden. Maar er lijkt toch iets bijzonders aan de hand te zijn met de relatie tussen deze twee driehoeken. Een: al hun overeenkomstige hoeken zijn gelijk. Dus de rechte hoek BAC, is gelijk aan XYZ. Hoek BCA is gelijk aan YZX. En hoek ABC is gelijk aan XYZ Dus al hun overeenkomstige hoeken zijn gelijk. We kunnen ook zien dat de zijden alleen een vergroting zijn van de een t.o.v. de ander. Dus om van de lengte van XZ naar AZ te gaan, kunnen we met 3 vermenigvuldigen, zoals hier, en om van de lengte van XY naar de lengte van AB te komen, de overeenkomstige zijde, moeten we ook vermenigvuldigen met drie. En om van de lengte van YZ naar de lengte van BC te komen moeten we ook met drie vermenigvuldigen. Dus in principe is driehoek ABC slechts een vergrote versie van driehoek XYZ. Als ze van gelijke grootte zouden zijn, zouden ze precies gelijke driehoeken zijn, maar de een is nu een vergrote, opgeblazen versie van de ander. Of deze is een miniatuurversie van de grote. Als je alle zijden met 3 vermenigvuldigt, krijg je deze driehoek. We kunnen ze dus niet gelijk noemen, maar we zien wel een bijzonder verband. Dit noemen we "gelijkvormigheid". Dus we kunnen opschrijven dat driehoek ABC gelijkvormig is aan driehoek, en we willen zeker weten dat we de overeenkomstige zijden goed krijgen, ABC is gelijkvormig aan XYZ. Aan XYZ. En dus, op basis van wat we net gezien hebben, zijn er eigenlijk drie ideeën hier. En ze zijn allemaal gelijkwaardige manieren om over gelijkvormigheid te denken. Een manier om het te bekijken is dat de een een vergrote versie is van de ander, of de ander een verkleining van de ene driehoek. Als we het hebben over gelijkheid, dan moeten ze precies gelijk zijn. Dan kun je ze draaien, verplaatsen, spiegelen maar als je dit allemaal doet zijn ze in principe gelijk. Met gelijkvormigheid kun je ze draaien, spiegelen en vergroten en/of verkleinen en dan zijn ze nog steeds gelijkvormig. Bijvoorbeeld, als je zegt dat iets gelijk aan elkaar is, neem bijvoorbeeld driehoek CDE. Als we weten dat driehoek CDE gelijk is aan driehoek FGH, dan weten we zeker dat ze gelijkvormig zijn. Ze zijn vergroot met een factor 1. Dan weten we dus ook dat CDE ook gelijk is aan driehoek FGH, maar andersom kunnen we dat niet zeggen. Als driehoek ABC gelijkvormig is aan driehoek XYZ, valt niet meteen te zeggen of ze ook gelijk zijn. Zo kunnen we in dit voorbeeld zien dat ze absoluut niet gelijk zijn. Dus dit is een manier om te denken over gelijkvormigheid. Een andere manier om gelijkvormigheid te zien is dat alle overeenkomstige hoeken gelijk zijn. Dus als iets gelijkvormig is, zullen alle overeenkomstige hoeken gelijk zijn. De overeenkomstige hoeken. Ik heb altijd problemen met spellen hier. Twee keer de R, een S. "Corresponding angles", overeenkomstige hoeken, zijn gelijk. Zijn gelijk. Dus als we zeggen dat driehoek ABC gelijkvormig is aan driehoek XYZ, dan is dat hetzelfde als zeggen dat hoek dat hoek ABC gelijk is aan, of we kunnen zeggen dat hun 'maat' gelijk is aan hoek XYZ. Hoek XYZ. Dus hoek BAC, BAC wordt gelijk aan hoek YXZ, en dan is hoek ACB gelijk aan hoek XZY. . Hoek XZY. Dus als je twee hoeken hebt, en al hun overeenkomstige hoeken zijn gelijk, dan kun je zeggen dat ze gelijkvormig zijn. Of je hebt twee driehoeken en je weet dat ze gelijkvormig zijn dan weet je ook dat al hun overeenkomstige hoeken gelijk zijn. De laatste manier om dit te bekijken, is dat alle zijden vergrotingen van de ander zijn. Dus de zijden zijn vergroot met dezelfde factor. Vermenigvuldigd met dezelfde factor. In het voorbeeld hier, was de vergrotingsfactor 3. Het hoeft niet altijd 3 te zijn. De factor moet alleen voor elke zijde gelijk zijn. Als we deze zijde bijvoorbeeld vergroten met factor 3, en deze zijde maar met een factor 2, dan hebben we geen gelijkvormige driehoeken meer. Maar als we al deze zijden vergroten met factor 7, dan zijn ze nog steeds gelijkvormig. Zo lang ze maar allemaal vergroot, of verkleind worden met dezelfde factor Dus een manier om dit te bekijken, en ik wil nog steeds al deze driehoeken voor me zien, laat ik ze hier tekenen, een beetje versimpeld. Dus nu praat ik in algemene termen, niet specifiek voor deze ene driehoek. Als we zeggen dat dit A, B en C zijn, en dit zijn X, Y, en Z. Ik heb ze net opnieuw getekend, zodat ik naar ze kan verwijzen. Als we zeggen dat deze twee gelijkvormig zijn, dan betekent dat dat de zijden vergrote versies van elkaar zijn. Dus we kunnen zeggen dat de lengte van AB, AB, gelijk is aan een vergrotingsfactor en deze mag kleiner zijn dan 1, een vergrotingsfactor keer de lengte van XY, de overeenkomstige zijde. En ik weet dat AB overeenkomt met XY door de volgorde waarin ik de gelijkvormigheid heb opgeschreven. Dus een vergrotingsfactor keer XY. We weten dat de lengte van BC de lengte van BC gelijk moet zijn aan diezelfde vergrotingsfactor keer de lengte van YZ Dus YZ vermenigvuldigd met dezelfde factor. Dan weten we ook dat de lengte van AC gelijk moet zijn aan diezelfde factor keer XZ. Dus dt is XZ, en dit zou een vergrotingsfactor kunnen zijn. Dus als ABC groter is dan XYZ, dan zullen deze K's groter zijn dan 1, als ze precies even groot zijn, dan zijn ze gelijke driehoeken, en zijn de K's gelijk aan 1, en als XYZ groter is dan ABC, dan zal de vergrotingsfactor kleiner zijn dan 1. Maar een andere manier om hetzelfde op te schrijven, ik zeg alleen maar dat de overeenkomstige zijden vergrotingen van elkaar zijn.